容量共25.0G

引 言 (2)
对新同学表示祝贺, 并提要求。
0.1 概 述
简单扼要介绍本课程内容.
0.2 预备事项
介绍连加号、连乘号、数学归纳法及归纳定义.
重点是数学归纳法及归纳定义.详细内容见教材的0.2.

第一章 多项式 只讲一元多项式.多元多项式视情况而定. 1. 1数域(2) 注意引导同学回忆从自然数到复数的认识数的过程. 强调有理数表示为两个整数的商. 内容: 教材 1.1. 1. 2一元多项式(2) 定义及运算. 强调运算的规律, 特别是与线性空间有关的 规律. 内容: 教材1.2. 1.3 带余除法 (2) 带余除法是中学未学过的, 注意带余除法中商式与余式的唯一性. 同余概念也是新的. 内容:教材 1.3. 1.4 最大公因式(2) 最大公因式的存在唯一性的理论证明、具体求法、性质,特别注意互素. 内容:教材 1.4. 1.5 因式分解(2) 因式分解及其唯一性定理. 最大公因式、最小公倍式与因式分解的关系. 内容:教材 1.5. 1.6 导数 重因式 (2) 多项式的导数与重因式的关系. 内容:教材 1.6. 1.7 多项式的根(2) 用函数的观点理解多项式, 同一数学对象可以从不同的 观点、角度去理解, 这是学习、研究数学重要方法. 让学生有一初步体会. 代数学基本定理. 不讲证明. 内容:教材 1.7. 1.8 有理系数多项式(2) 以一些不可约的判别法为中心. 同时使同学知道, 数学中仍有许多待解决的问题. 内容:教材 1.8. 1.9 多元多项式(2) 以对称多项式为中心讲述. 内容:教材1.9. 课时不足, 可略去此节, 建议在抽象代数中不讲多项式理论的应讲此内容. 1.10 例(2) 内容:教材 1.10. 如果课时不够此节可不讲或少讲几个例子.

第二章 行列式 行列式的定义、性质及应用. 2.1 矩阵(1) 矩阵的引入, 行、列及元素的符号. 内容:教材 2.1. 2.2 行列式(1) 归纳定义 n 阶行列式. 内容:教材 2.2. 2.3 行列式的性质(2) 行列式的性质及例1、例2. 内容:教材 2.3. 2.4 行列式的完全展开(2) 行列式的完全展开, 代数余子式. 内容:教材 2.4. 2.5 Cramer 法则(2) 线性方程组的定义, Cramer 法则. 内容:教材 2.5. 2.6 例(2) 通过例子介绍计算行列式的一些技巧. 内容:教材 2.6.

第三章 矩阵 本章主要矩阵运算及其性质. 着重矩阵运算的规律和技 训练. 3.1矩阵的运算(2) 矩阵的运算中注意乘法, 这是同学第一次遇到非交换的乘法. 还要注意矩阵的符号(行、列和元素)的运用. 为以后熟练运用打下基础. 内容:教材 3.1. 3.2 可逆矩阵(2) 可逆矩阵是同学在中学未曾碰到过的, 注意非零方阵与可逆矩阵的区别. 内容:教材 3.2. 3.3 矩阵的分块(2) 分块是矩阵运算的基本技巧之一. 内容:教材 3.3. 3.4 矩阵的初等变换与初等矩阵(3) 初等变换源于线性方程组的加减消元法. 初等变换与初 等矩阵的关系. 可逆矩阵与初等变换的关系, 求逆矩阵的方法. 内容:教材 3.4. 3.5 矩阵与线性方程组(1) 介绍线性方程组与矩阵间的关系, 线行方程组的三种写法. 内容:教材 3.5. 3.6 例 通过一些例子进一步, 进行矩阵计算技巧的训练. 内容:教材 3.6.

第四章 线性空间 线性空间是线性代数的最基本、最重要的概念和理论. 同时也是同学第一次接触到的非常抽象的概念和理论. 与几何密切结合便于同学把握. 4.1 向量及其线性运算(2) 向量及其几何表示, 向量运算及其性质. 满足线性空间的公理. 内容:教材4.1. 4.2 坐标系(3) 坐标系引入是数学发展的重要转折点, 是数和形的结合. 内容: 教材 4.2. 4.3 线性空间的定义(2) 注意线性空间的广泛性, 代数、几何与数学分析中都有线性空间. 内容:教材 4.3. 4.4 线性相关 线性相关与线性无关是线性空间的最基础的概念, 是向量 共线、共面 的抽象化. 内容: 教材 4.4. 4.5 秩, 维数与基(3) 掌握线性空间的向量组的极大线性无关部分组及其所含向量个数(即向量组的秩)是以后学习的关键. 替换定理起很重要作用. 内容: 教材 4.5. 4.6 矩阵的秩(3) 描述矩阵秩的多样性.求矩阵秩的方法. 内容: 教材 4.6. 4.7 线性方程组(2) 性方程组的完整理论.线性方程组的解法. 线性空间理的很好的应用. 内容: 教材4.7. 4.8 坐标与基变换(3) 将抽象的向量变为具体的坐标(矩阵). 矩阵符号的运用,的功效. 内容:教材4.8. 4.9 子空间(2) 子空间的运算, 维数公式, 直和. 内容:教材4.9. 4.10 商空间(2) 注意商空间的几何模型. 同余观念的一般化. 内容:教材4.10. 4.11 线性空间的同态与同构(3) 线性映射, 同态及同构是现代代数学的最基本概念, 为抽象代数奠定基础. 内容:教材4.11.

第五章 线性变换 线性变换是特殊的线性映射, 是线性代数理论的重要组成部分, 也是线性代数理论用于其他学科的关键. 5.1 线性变换的定义(2) 注意线性变换的广泛性. 内容: 教材5.1. 5.2 线性变换的运算(2) 注意线性变换运算与方阵运算的相似性. 内容: 教材 5.2. 5.3 线性变换的矩阵(4) 将抽象的线性变换化为具体的方阵, 不同基下的方阵间的关系. 内容: 5.3. 5.4 特征值与特征向量(4) 特征值、特征向量及特征多项式是线性变换的重要性质. 特别是 Hamilton-Caylay 定理不仅本身重要, 而且证明中有矩阵及多项式观念的转变. 内容: 5.4. 5.5 具有对角矩阵的线性变换(2) 这类线性变换通常称为半(简)单的线性变换, 有极其广泛的 用处. 内容: 教材 5.5. 5.6 不变子空间(4) 这是难度最大的部分. 多项式理论, 线性代数理论在此处交汇在一起. 提醒同学要特别注意. 内容: 教材 5.6. 5.7 二, 三维复线性空间的线性变换 为下一节做铺垫. 注意计算能力的训练. 内容: 5.7. 5.8 复线性空间线性变换的标准形 代数学中一个基本问题是某种代数结构的分类, 每类找出一个简洁的代表, 即所谓标准形. Jordan 标准形就是典型的代表. 用在商空间上诱导的线性变换这种思想求标准形, 使同学对商空间等有更多的了解, 而且这种方法也更简练. 内容: 教材5.8.

第六章 多项式矩阵 若课时不够,可略去本章。 抽象代数中不讲模论的 学校可讲此章, 而不讲5.8。 6.1 多项式矩阵的标准形(2) 用初等变换化标准形. 内容:教材6.1。 6.2 标准形的唯一性(1) 多项式矩阵的标准的唯一性。 内容:教材6.2。 6.3 矩阵相似的条件(2) 数域上两个方阵相似的充分必要条件。 内容:教材 6.3。 6.4 复方阵的 Jordan 标准形(2) 复方阵的 Jordan 标准形的存在及唯一性。 内容:教材6.4。

第七章 Euclid 空间 有度量的实线性空间是通常空间的抽象化. 度量在这类空间中有重要的作用. 7.1 Euclid 空间的定义(2) 引入时注意与初等数学的联系, 也要注意广泛性. 内容: 教材 7.1 7.2 标准正交基(3) 标准正交基的优点, 存在性. 内容: 教材 7.2. 7.3 Euclid 空间的同构(1) 注意与线性空间同构的差别. 内容: 教材 7.3. 7.4 子空间(2) 注意正交补, 最小二乘法. 内容: 教材 7.4. 7.5 共轭变换 正规变换(3) 度量对线性变换的影响, 正规变换的标准形.后面的正交变换, 对称变换是特殊的正规变换. 内容: 教材 7.5. 7.6 正交变换(2) 正交变换与旋转, 反射间的联系. 内容: 教材 7.6. 7.7 对称变换(2) 注意对称变换的特征向量可构成标准正交基. 内容: 教材 7.7. 7.8 酉空间及其变换(2) 有度量的复线性空间. 此节可让同学自己完成证明. 内容:教材 7.8. 7.9 向量积与混合积(3) 这是解析几何中两种重要运算, 特别是前者. 从代数方 面讲, 前者是同学第一次遇到非交换、非结合的乘法. 后者是第一次遇到的三重线性函数. 内容: 教材 7.9.

第八章 双线性函数与二次型 这是高等代数的最后一部分内容. 双线性函数是度量的推广, 又是连接线性代数的二次齐次多项式的纽带, 也是将高等代数用于解析几何的强有力的工具. 8.1 对偶空间(2) 线性空间的线性函数构成的空间, 对偶基, 矩阵表示. 内容: 教材 8.1. 8.2 双线性函数(4) 内积的推广, 矩阵表示. 内容:教材 8.2. 8.3 二次型及其标准形(2) 化标准形的方法. 内容:教材 8.3. 8.4 唯一性(2) 重点是实二次型的规范形的唯一性. 内容: 教材 8.4. 8.5 正定二次型 正定二次型的各种判别法. 内容: 教材 8.5. 8.6 二次型在分析中的应用 多元函数的极值. 如果同学未学多元微积分, 不讲. 内容: 教材 8.6. 8.7 二次型在解析几何中的应用(4) 等距变换, 二次曲面的分类. 内容: 教材 8.7.

第九章 二次曲面 二次曲面是解析几何的核心内容, 也是用高等代数方法解决得最好的几何问题. 9.1 二次曲面(4) 二次曲面基本性质及形状. 内容:教材 9.1. 9.2 直纹面(2) 基本的直纹面. 内容:教材 9.2. 9.3 旋转面(2) 旋转面的方程. 内容:教材 9.3. 9.4 二次曲面的仿射性质(4) 二次曲面的各种仿射性质. 内容: 教材 9.4. 9.5 二次曲面的度量性质(2) 不变量等. 内容:教材 9.5.

第十章 仿射几何与射影几何 本章用线性空间的观点讲述仿射几何与射影几何. 课时不足,可不在课堂上讲, 作为阅读材料. 10.1 仿射几何 10.2 基本仿射性质 10.3 仿射同构 10.4 仿射几何基本定理 10.5 射影几何 10.6 射影几何的基本关联定理 10.7 射影同构 10.8 对偶 对偶几何 10.9 射影二次型

习 题 课

引言： 课堂练习和讲解：1：3）， 4）；3；4；6。 作业： 1：1），2）；2。

第一章 多项式 1.1 数域 课堂练习和讲解：4；5；6。 作业： 1；2；3。 1.2 一元多项式 课堂练习和讲解：1；2；3；4。 1.3 带余除法 课堂练习和讲解：1：2）；2：2）；3：2）；4：1）；6。 作业： 1：1）；2：1）；3：1）；5。 1.4 最大公因式 课堂练习和讲解：4；8；10；13；16。 作业： 1：1）；2：2），3）；6；7；9；12。 注意：第15题计算较复杂，建议学生课后集体研究，并结合第16题的解法考虑与中国剩余定理有关的推广。 1.5 因式分解 课堂练习和讲解：1；2；5。 作业： 3；4。 1.6 导数 重因式 课堂练习和讲解：1：2），3）；2：1）；3。 作业： 1：4）；2：2）；4。 1.7 多项式的根 课堂练习和讲解：1；2； 4； 6； 8； 18； 19。 作业： 3：4）；9： 10；13；16；17。 注意：从第1、2、7、8题总结中国剩余定理在证明整除时的作用。推广第19题的做法；第20题较难，课后讨论。 1.8 有理系数多项式 课堂练习和讲解：1：1）；3：1）；3）；4）；5；7。 作业： 2； ；3：2）； 4； 6。 1.10 例 课堂练习和讲解：1； 3； 4； 5； 6； 7。

第二章 行列式 2.1 矩阵 课堂练习和讲解： 1：1），2）； 2： 2），4）。 2.2 行列式 课堂练习和讲解：1；3；5；6；10。 作业： 2； 4； 7； 9；11。 2.3 行列式的性质 课堂练习和讲解：1：1）， 7），11）， 12）；2：2）；3； 5；6。 作业： 1：4），8），9），14）；2：1），3）；4。 2.4 行列式的完全展开 课堂练习和讲解：1：2），4），6）；2；4；8；9。 作业： 1：1），7）；5：6；10。 2.5 Cramer 法则 课堂练习和讲解：1：1），3）；2；。 作业： 1：2），4）。 2.6 例 课堂练习和讲解：1；4；7。 作业： 2；3；5；6。

第三章 矩阵 3.1 矩阵的运算 课堂练习和讲解：1：1）；2：3），8），10）；4：5）；5；9；12。 作业： 1：2）；2：2），4），7）；8；10；11。 3.2 可逆矩阵 课堂练习和讲解：1：2），4），6；2；3；6。 作业： 1：1），5）；4；5；7。 3.3 矩阵的分块 课堂练习和讲解：1；3；4；6；7；9。 作业： 2；5；8；10。 课后总结打洞技巧的规律，并探讨其在计算行列式和矩阵运算中的应用。 3.4 矩阵的初等变换和初等矩阵 课堂练习和讲解：1：3），5），8）；3：4）；5。 作业： 1：1），6），7）；2；3：2），3）；7；。 3.5 矩阵与线性方程组 课堂练习和讲解：1：1），4）；5。 作业： 1：2），3）。 3.6 例 课堂练习和讲解：1：6），7）； 2； 5。 作业： 1：2），3），4）；3；4。

第四章 线性空间 4.1 向量及其线性运算 课堂练习和讲解：1；3；6；7。 作业： 2；4；5；8。 4.2 坐标系 课堂练习和讲解：1；4；6；9。 作业： 2；3；5；8。 课外参考有关《解析几何》的内容，搞清直线与平面的各种方程和位置关系。 4.3 线性空间的定义 课堂练习和讲解：1：1），3），4），7），9）；2。 作业： 1：2），5），6），8），10）；3。 4.4 线性相关 课堂练习和讲解：1；2；4；6。 作业： 3；7；8。 4.5 秩，维数与基 课堂练习和讲解：1；3；7；8；10：1），3）。 作业： 2；5；6；9；10：2），4）；12。 4.6 矩阵的秩 课堂练习和讲解：1：2），3）；2；5；7。 作业： 3；4；6。 4.7 线性方程组 课堂练习和讲解：1：1），4），7）；3； 4； 5； 8。 作业： 1：2），3）；2；7。 4.8 坐标与基变换 课堂练习和讲解：1：1）；3。 作业： 1：2）；2。 4.9 子空间 课堂练习和讲解：1：1）； 3； 5； 7；10；11。 作业： 1：2），3）；2；4；8；9。 4.10 商空间 课堂练习和讲解：2；4；6。 作业： 1；3；5。 4.11 线性空间的同态与同构 课堂练习和讲解：1； 2； 3；4。

第五章 线性变换 5.1 线性变换的定义 课堂练习和讲解：1；5；6；7；8；10；14。 作业： 2；3；4；9；11；12；13。 5.2 线性变换的运算 课堂练习和讲解：3；5；6；7。 作业： 1；2；4；8。 5.3 线性变换的矩阵 课堂练习和讲解：2：1），3），5）；5；6；10。 作业： 1；2：2），4），6）；4；7；8；9。 5.4 特征值与特征向量 课堂练习和讲解：1：3），4）；3；6；10；12。 作业： 1：6），8）；4；5；9；13。 5.5 具有对角矩阵的线性变换 课堂练习和讲解：1：3），4）；3；6；8。 作业： 1：6），8）；2；4；5；7。 5.6 不变子空间 课堂练习和讲解：1；3；5；7；9；14。 作业： 2；4；6；8；11；13。 课后思考题：结合第1、2、3题的解法讨论什么样的线性变换只有有限个不变子空间，并写出科研小论文。 5.7 二、三为复线性空间的线性变换 课堂练习和讲解：1：1），4），7）；3； 6。 作业： 1：2），3），6）；2；5；7。 5.8 复线性空间线性变换的标准形 课堂练习和讲解：5；6；9；10。 作业： 7；8。 课后讨论1—4题的解法，并阅读本书第六章，比较两种做法的优劣。

第七章 Euclid 空间 7.1 Euclid空间的定义 课堂练习和讲解：1：1），3），6）；2；6；9。 作业： 1：2），4），5）；3；5；8；10。 课后讨论第11题的解法，并探讨其几何意义。 7.2 标准正交基 课堂练习和讲解：2；3：2）；7；8；9。 作业： 1；3：3）；4；6；10。 7.3 Euclid空间的同构 课堂练习和讲解：3；4。 作业： 1；2。 7.4 子空间 课堂练习和讲解：1；3；6；8；10。 作业： 2；4；5；7。 7.5 共轭变换 正规变换 课堂练习和讲解：1；4；7；8；10。 作业： 2；3；5；6；9。 7.6 正交变换 课堂练习和讲解：1；2；6；8；9。 作业： 3；4；5；7。 7.7 对称变换 课堂练习和讲解：1：3），4）；4； 6；8；9。 作业： 1：2），5）；2；；3；5；7；11。 7.8 酉空间及其变换 课后讨论本章前七节的习题中的结论，看哪些可以推广到酉空间，并写出总结。 7.9 向量积与混合积 课堂练习和讲解：1；2； 3；5。 作业： 4；6；7。

第八章 双线性函数与二次型 8.1 对偶空间 课堂练习和讲解：1；2；5。 作业： 3；4。 课后讨论第11题的解法，并探讨其几何意义。 8.2 双线性函数 课堂练习和讲解：1；3；4；7。 作业： 2；5；6；8。 课后思考题：考虑多重线性函数的基本性质，特别是第9题的推广，参考有关书籍。 8.3 二次型及其标准形 课堂练习和讲解：1：2），4）；2：1），4）；4。 作业： 1：1），5）；2：2），3）；3。 8.4 唯一性 课堂练习和讲解：1；5；6；7。 作业： 2；3；4；8。 8.5 正定二次型 课堂练习和讲解：1：1），3）；4；8；9；14；15。 作业： 1：2），4）；2；3；6；12；13；16。 8.7 二次型在解析几何中的应用 课堂练习和讲解：1：1），3）；2：1），3）。 作业： 1：2），4）；2：2）。 课后思考题：就3、4、5题写出总结报告。

第九章 二次曲面 9.1 二次曲面 课堂练习和讲解：1；2；4；5。 作业： 3；6。 9.2 直纹面 课堂练习和讲解：2；3：1），4）；4；5。 作业： 1；3：2），3）；6。 9.3 旋转面 课堂练习和讲解：1；2；3；4。 9.4 二次曲面的仿射性质 课堂练习和讲解：1；3；4；7；9；10；11。 作业： 2；8；13；14。 注意：本节5、6题有问题，建议课后讨论。 9.5 二次曲面的度量性质 课堂练习和讲解：1：1），3）；3；4。 作业： 1：2）；2；5。 课后作业：结合3，4，5题讨论圆截面的性质和求法，写出总结。