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高等代数与解析几何视频教程 121讲 南开大学 精品课程 容量共25.0G
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高等代数与解析几何视频教程 121讲 南开大学 精品课程 容量共25.0G 课程介绍:

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高等代数与解析几何视频教程 121讲 南开大学 精品课程
高等代数与解析几何视频教程
高等代数与解析几何视频教程
高等代数与解析几何视频教程 

容量共25.0G

引 言 (2)
对新同学表示祝贺, 并提要求。
0.1 概 述
简单扼要介绍本课程内容.
0.2 预备事项
介绍连加号、连乘号、数学归纳法及归纳定义.
重点是数学归纳法及归纳定义.详细内容见教材的0.2.

 

第一章 多项式

只讲一元多项式.多元多项式视情况而定. 1. 1数域(2)
注意引导同学回忆从自然数到复数的认识数的过程. 强调有理数表示为两个整数的商.
内容: 教材 1.1.
1. 2一元多项式(2)
定义及运算. 强调运算的规律, 特别是与线性空间有关的 规律.
内容: 教材1.2.
1.3 带余除法 (2)
带余除法是中学未学过的, 注意带余除法中商式与余式的唯一性. 同余概念也是新的.
内容:教材 1.3.

1.4 最大公因式(2)
最大公因式的存在唯一性的理论证明、具体求法、性质,特别注意互素.
内容:教材 1.4.

1.5 因式分解(2)
因式分解及其唯一性定理. 最大公因式、最小公倍式与因式分解的关系.
内容:教材 1.5.

1.6 导数 重因式 (2)
多项式的导数与重因式的关系.
内容:教材 1.6.
1.7 多项式的根(2)
用函数的观点理解多项式, 同一数学对象可以从不同的 观点、角度去理解, 这是学习、研究数学重要方法. 让学生有一初步体会.
代数学基本定理. 不讲证明.
内容:教材 1.7.
1.8 有理系数多项式(2)
以一些不可约的判别法为中心. 同时使同学知道, 数学中仍有许多待解决的问题.
内容:教材 1.8.
1.9 多元多项式(2)
以对称多项式为中心讲述.
内容:教材1.9.
课时不足, 可略去此节, 建议在抽象代数中不讲多项式理论的应讲此内容.
1.10 例(2)
内容:教材 1.10. 如果课时不够此节可不讲或少讲几个例子.

 

第二章 行列式

行列式的定义、性质及应用.
2.1 矩阵(1)
矩阵的引入, 行、列及元素的符号.
内容:教材 2.1.
2.2 行列式(1)
归纳定义 n 阶行列式.
内容:教材 2.2.
2.3 行列式的性质(2)
行列式的性质及例1、例2.
内容:教材 2.3.
2.4 行列式的完全展开(2)
行列式的完全展开, 代数余子式.
内容:教材 2.4.
2.5 Cramer 法则(2)
线性方程组的定义, Cramer 法则.
内容:教材 2.5.
2.6 例(2)
通过例子介绍计算行列式的一些技巧.
内容:教材 2.6.

 

第三章 矩阵

本章主要矩阵运算及其性质. 着重矩阵运算的规律和技
训练.
3.1矩阵的运算(2)
矩阵的运算中注意乘法, 这是同学第一次遇到非交换的乘法. 还要注意矩阵的符号(行、列和元素)的运用. 为以后熟练运用打下基础.
内容:教材 3.1.
3.2 可逆矩阵(2)
可逆矩阵是同学在中学未曾碰到过的, 注意非零方阵与可逆矩阵的区别.
内容:教材 3.2.
3.3 矩阵的分块(2)
分块是矩阵运算的基本技巧之一.
内容:教材 3.3.
3.4 矩阵的初等变换与初等矩阵(3)
初等变换源于线性方程组的加减消元法. 初等变换与初
等矩阵的关系. 可逆矩阵与初等变换的关系, 求逆矩阵的方法.
内容:教材 3.4.
3.5 矩阵与线性方程组(1)
介绍线性方程组与矩阵间的关系, 线行方程组的三种写法.
内容:教材 3.5.
3.6 例
通过一些例子进一步, 进行矩阵计算技巧的训练.
内容:教材 3.6.

 

第四章 线性空间

线性空间是线性代数的最基本、最重要的概念和理论. 同时也是同学第一次接触到的非常抽象的概念和理论. 与几何密切结合便于同学把握.
4.1 向量及其线性运算(2)
向量及其几何表示, 向量运算及其性质. 满足线性空间的公理.
内容:教材4.1.
4.2 坐标系(3)
坐标系引入是数学发展的重要转折点, 是数和形的结合.
内容: 教材 4.2.
4.3 线性空间的定义(2)
注意线性空间的广泛性, 代数、几何与数学分析中都有线性空间.
内容:教材 4.3.
4.4 线性相关
线性相关与线性无关是线性空间的最基础的概念, 是向量 共线、共面 的抽象化.
内容: 教材 4.4.
4.5 秩, 维数与基(3)
掌握线性空间的向量组的极大线性无关部分组及其所含向量个数(即向量组的秩)是以后学习的关键. 替换定理起很重要作用.
内容: 教材 4.5.
4.6 矩阵的秩(3)
描述矩阵秩的多样性.求矩阵秩的方法.
内容: 教材 4.6.
4.7 线性方程组(2)
性方程组的完整理论.线性方程组的解法. 线性空间理的很好的应用.
内容: 教材4.7.
4.8 坐标与基变换(3)
将抽象的向量变为具体的坐标(矩阵). 矩阵符号的运用,的功效.
内容:教材4.8.
4.9 子空间(2)
子空间的运算, 维数公式, 直和.
内容:教材4.9.
4.10 商空间(2)
注意商空间的几何模型. 同余观念的一般化.
内容:教材4.10.
4.11 线性空间的同态与同构(3)

线性映射, 同态及同构是现代代数学的最基本概念, 为抽象代数奠定基础.
内容:教材4.11.

 

第五章 线性变换

线性变换是特殊的线性映射, 是线性代数理论的重要组成部分, 也是线性代数理论用于其他学科的关键.
5.1 线性变换的定义(2)
注意线性变换的广泛性.
内容: 教材5.1.
5.2 线性变换的运算(2)
注意线性变换运算与方阵运算的相似性.
内容: 教材 5.2.
5.3 线性变换的矩阵(4)
将抽象的线性变换化为具体的方阵, 不同基下的方阵间的关系.
内容: 5.3.
5.4 特征值与特征向量(4)
特征值、特征向量及特征多项式是线性变换的重要性质. 特别是 Hamilton-Caylay 定理不仅本身重要, 而且证明中有矩阵及多项式观念的转变.
内容: 5.4.
5.5 具有对角矩阵的线性变换(2)
这类线性变换通常称为半(简)单的线性变换, 有极其广泛的

用处.
内容: 教材 5.5.
5.6 不变子空间(4)
这是难度最大的部分. 多项式理论, 线性代数理论在此处交汇在一起. 提醒同学要特别注意.
内容: 教材 5.6.
5.7 二, 三维复线性空间的线性变换
为下一节做铺垫. 注意计算能力的训练.
内容: 5.7.
5.8 复线性空间线性变换的标准形
代数学中一个基本问题是某种代数结构的分类, 每类找出一个简洁的代表, 即所谓标准形. Jordan 标准形就是典型的代表. 用在商空间上诱导的线性变换这种思想求标准形, 使同学对商空间等有更多的了解, 而且这种方法也更简练.
内容: 教材5.8.

 

第六章 多项式矩阵

若课时不够,可略去本章。 抽象代数中不讲模论的 学校可讲此章, 而不讲5.8。
6.1 多项式矩阵的标准形(2)
用初等变换化标准形.
内容:教材6.1。
6.2 标准形的唯一性(1)
多项式矩阵的标准的唯一性。
内容:教材6.2。
6.3 矩阵相似的条件(2)
数域上两个方阵相似的充分必要条件。
内容:教材 6.3。
6.4 复方阵的 Jordan 标准形(2)
复方阵的 Jordan 标准形的存在及唯一性。
内容:教材6.4。

 

第七章 Euclid 空间

有度量的实线性空间是通常空间的抽象化. 度量在这类空间中有重要的作用.
7.1 Euclid 空间的定义(2)
引入时注意与初等数学的联系, 也要注意广泛性.
内容: 教材 7.1
7.2 标准正交基(3)
标准正交基的优点, 存在性.
内容: 教材 7.2.
7.3 Euclid 空间的同构(1)
注意与线性空间同构的差别.
内容: 教材 7.3.
7.4 子空间(2)
注意正交补, 最小二乘法.
内容: 教材 7.4.
7.5 共轭变换 正规变换(3)
度量对线性变换的影响, 正规变换的标准形.后面的正交变换, 对称变换是特殊的正规变换.
内容: 教材 7.5.
7.6 正交变换(2)

正交变换与旋转, 反射间的联系.
内容: 教材 7.6.
7.7 对称变换(2)
注意对称变换的特征向量可构成标准正交基.
内容: 教材 7.7.
7.8 酉空间及其变换(2)
有度量的复线性空间. 此节可让同学自己完成证明.
内容:教材 7.8.
7.9 向量积与混合积(3)
这是解析几何中两种重要运算, 特别是前者. 从代数方 面讲, 前者是同学第一次遇到非交换、非结合的乘法. 后者是第一次遇到的三重线性函数.
内容: 教材 7.9.

 

第八章 双线性函数与二次型

这是高等代数的最后一部分内容. 双线性函数是度量的推广, 又是连接线性代数的二次齐次多项式的纽带, 也是将高等代数用于解析几何的强有力的工具.
8.1 对偶空间(2)
线性空间的线性函数构成的空间, 对偶基, 矩阵表示.
内容: 教材 8.1.
8.2 双线性函数(4)
内积的推广, 矩阵表示.
内容:教材 8.2.
8.3 二次型及其标准形(2)
化标准形的方法.
内容:教材 8.3.
8.4 唯一性(2)
重点是实二次型的规范形的唯一性.
内容: 教材 8.4.
8.5 正定二次型
正定二次型的各种判别法.
内容: 教材 8.5.
8.6 二次型在分析中的应用

多元函数的极值. 如果同学未学多元微积分, 不讲.
内容: 教材 8.6.
8.7 二次型在解析几何中的应用(4)
等距变换, 二次曲面的分类.
内容: 教材 8.7.

 

第九章 二次曲面

二次曲面是解析几何的核心内容, 也是用高等代数方法解决得最好的几何问题.
9.1 二次曲面(4)
二次曲面基本性质及形状.
内容:教材 9.1.
9.2 直纹面(2)
基本的直纹面.
内容:教材 9.2.
9.3 旋转面(2)
旋转面的方程.
内容:教材 9.3.
9.4 二次曲面的仿射性质(4)
二次曲面的各种仿射性质.
内容: 教材 9.4.
9.5 二次曲面的度量性质(2)
不变量等.
内容:教材 9.5.

 

第十章 仿射几何与射影几何

本章用线性空间的观点讲述仿射几何与射影几何. 课时不足,可不在课堂上讲, 作为阅读材料.
10.1 仿射几何

10.2 基本仿射性质

10.3 仿射同构

10.4 仿射几何基本定理

10.5 射影几何

10.6 射影几何的基本关联定理

10.7 射影同构

10.8 对偶 对偶几何

10.9 射影二次型

 

习 题 课

 

引言:

课堂练习和讲解:1:3), 4);3;4;6。
作业: 1:1),2);2。

 

第一章 多项式

1.1 数域
课堂练习和讲解:4;5;6。
作业: 1;2;3。
1.2 一元多项式
课堂练习和讲解:1;2;3;4。
1.3 带余除法
课堂练习和讲解:1:2);2:2);3:2);4:1);6。
作业: 1:1);2:1);3:1);5。
1.4 最大公因式
课堂练习和讲解:4;8;10;13;16。
作业: 1:1);2:2),3);6;7;9;12。
注意:第15题计算较复杂,建议学生课后集体研究,并结合第16题的解法考虑与中国剩余定理有关的推广。
1.5 因式分解
课堂练习和讲解:1;2;5。
作业: 3;4。
1.6 导数 重因式
课堂练习和讲解:1:2),3);2:1);3。
作业: 1:4);2:2);4。
1.7 多项式的根
课堂练习和讲解:1;2; 4; 6; 8; 18; 19。
作业: 3:4);9: 10;13;16;17。
注意:从第1、2、7、8题总结中国剩余定理在证明整除时的作用。推广第19题的做法;第20题较难,课后讨论。
1.8 有理系数多项式
课堂练习和讲解:1:1);3:1);3);4);5;7。
作业: 2; ;3:2); 4; 6。
1.10 例
课堂练习和讲解:1; 3; 4; 5; 6; 7。

 

第二章 行列式

2.1 矩阵
课堂练习和讲解: 1:1),2); 2: 2),4)。
2.2 行列式
课堂练习和讲解:1;3;5;6;10。
作业: 2; 4; 7; 9;11。
2.3 行列式的性质
课堂练习和讲解:1:1), 7),11), 12);2:2);3; 5;6。
作业: 1:4),8),9),14);2:1),3);4。
2.4 行列式的完全展开
课堂练习和讲解:1:2),4),6);2;4;8;9。
作业: 1:1),7);5:6;10。
2.5 Cramer 法则
课堂练习和讲解:1:1),3);2;。
作业: 1:2),4)。
2.6 例
课堂练习和讲解:1;4;7。
作业: 2;3;5;6。

 

第三章 矩阵

3.1 矩阵的运算
课堂练习和讲解:1:1);2:3),8),10);4:5);5;9;12。
作业: 1:2);2:2),4),7);8;10;11。
3.2 可逆矩阵
课堂练习和讲解:1:2),4),6;2;3;6。
作业: 1:1),5);4;5;7。
3.3 矩阵的分块
课堂练习和讲解:1;3;4;6;7;9。
作业: 2;5;8;10。
课后总结打洞技巧的规律,并探讨其在计算行列式和矩阵运算中的应用。
3.4 矩阵的初等变换和初等矩阵
课堂练习和讲解:1:3),5),8);3:4);5。
作业: 1:1),6),7);2;3:2),3);7;。
3.5 矩阵与线性方程组
课堂练习和讲解:1:1),4);5。
作业: 1:2),3)。
3.6 例
课堂练习和讲解:1:6),7); 2; 5。
作业: 1:2),3),4);3;4。

 

第四章 线性空间

4.1 向量及其线性运算
课堂练习和讲解:1;3;6;7。
作业: 2;4;5;8。
4.2 坐标系
课堂练习和讲解:1;4;6;9。
作业: 2;3;5;8。
课外参考有关《解析几何》的内容,搞清直线与平面的各种方程和位置关系。
4.3 线性空间的定义
课堂练习和讲解:1:1),3),4),7),9);2。
作业: 1:2),5),6),8),10);3。
4.4 线性相关
课堂练习和讲解:1;2;4;6。
作业: 3;7;8。
4.5 秩,维数与基
课堂练习和讲解:1;3;7;8;10:1),3)。
作业: 2;5;6;9;10:2),4);12。
4.6 矩阵的秩
课堂练习和讲解:1:2),3);2;5;7。
作业: 3;4;6。
4.7 线性方程组
课堂练习和讲解:1:1),4),7);3; 4; 5; 8。
作业: 1:2),3);2;7。
4.8 坐标与基变换
课堂练习和讲解:1:1);3。
作业: 1:2);2。
4.9 子空间
课堂练习和讲解:1:1); 3; 5; 7;10;11。
作业: 1:2),3);2;4;8;9。
4.10 商空间
课堂练习和讲解:2;4;6。
作业: 1;3;5。
4.11 线性空间的同态与同构
课堂练习和讲解:1; 2; 3;4。

 

第五章 线性变换

5.1 线性变换的定义
课堂练习和讲解:1;5;6;7;8;10;14。
作业: 2;3;4;9;11;12;13。
5.2 线性变换的运算
课堂练习和讲解:3;5;6;7。
作业: 1;2;4;8。
5.3 线性变换的矩阵
课堂练习和讲解:2:1),3),5);5;6;10。
作业: 1;2:2),4),6);4;7;8;9。
5.4 特征值与特征向量
课堂练习和讲解:1:3),4);3;6;10;12。
作业: 1:6),8);4;5;9;13。
5.5 具有对角矩阵的线性变换
课堂练习和讲解:1:3),4);3;6;8。
作业: 1:6),8);2;4;5;7。
5.6 不变子空间
课堂练习和讲解:1;3;5;7;9;14。
作业: 2;4;6;8;11;13。
课后思考题:结合第1、2、3题的解法讨论什么样的线性变换只有有限个不变子空间,并写出科研小论文。
5.7 二、三为复线性空间的线性变换
课堂练习和讲解:1:1),4),7);3; 6。
作业: 1:2),3),6);2;5;7。
5.8 复线性空间线性变换的标准形
课堂练习和讲解:5;6;9;10。
作业: 7;8。
课后讨论1—4题的解法,并阅读本书第六章,比较两种做法的优劣。

 

第七章 Euclid 空间

7.1 Euclid空间的定义
课堂练习和讲解:1:1),3),6);2;6;9。
作业: 1:2),4),5);3;5;8;10。
课后讨论第11题的解法,并探讨其几何意义。
7.2 标准正交基
课堂练习和讲解:2;3:2);7;8;9。
作业: 1;3:3);4;6;10。
7.3 Euclid空间的同构
课堂练习和讲解:3;4。
作业: 1;2。
7.4 子空间
课堂练习和讲解:1;3;6;8;10。
作业: 2;4;5;7。
7.5 共轭变换 正规变换
课堂练习和讲解:1;4;7;8;10。
作业: 2;3;5;6;9。
7.6 正交变换
课堂练习和讲解:1;2;6;8;9。
作业: 3;4;5;7。
7.7 对称变换
课堂练习和讲解:1:3),4);4; 6;8;9。
作业: 1:2),5);2;;3;5;7;11。
7.8 酉空间及其变换
课后讨论本章前七节的习题中的结论,看哪些可以推广到酉空间,并写出总结。

7.9 向量积与混合积
课堂练习和讲解:1;2; 3;5。
作业: 4;6;7。

 

第八章 双线性函数与二次型

8.1 对偶空间
课堂练习和讲解:1;2;5。
作业: 3;4。
课后讨论第11题的解法,并探讨其几何意义。
8.2 双线性函数
课堂练习和讲解:1;3;4;7。
作业: 2;5;6;8。
课后思考题:考虑多重线性函数的基本性质,特别是第9题的推广,参考有关书籍。
8.3 二次型及其标准形
课堂练习和讲解:1:2),4);2:1),4);4。
作业: 1:1),5);2:2),3);3。
8.4 唯一性
课堂练习和讲解:1;5;6;7。
作业: 2;3;4;8。
8.5 正定二次型
课堂练习和讲解:1:1),3);4;8;9;14;15。
作业: 1:2),4);2;3;6;12;13;16。
8.7 二次型在解析几何中的应用
课堂练习和讲解:1:1),3);2:1),3)。
作业: 1:2),4);2:2)。
课后思考题:就3、4、5题写出总结报告。

 

九章 二次曲面

9.1 二次曲面
课堂练习和讲解:1;2;4;5。
作业: 3;6。
9.2 直纹面
课堂练习和讲解:2;3:1),4);4;5。
作业: 1;3:2),3);6。
9.3 旋转面
课堂练习和讲解:1;2;3;4。
9.4 二次曲面的仿射性质
课堂练习和讲解:1;3;4;7;9;10;11。
作业: 2;8;13;14。
注意:本节5、6题有问题,建议课后讨论。
9.5 二次曲面的度量性质
课堂练习和讲解:1:1),3);3;4。
作业: 1:2);2;5。
课后作业:结合3,4,5题讨论圆截面的性质和求法,写出总结。

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